コッホ曲線

の定義に出てくる極限って、あんまり厳密な定義を見たことがない。定義どおりにやると可算個の点しか定まらない。補間できそうな気もするけど。

とりあえずコッホ曲線と区間[0,1]の間に対応をつくる。左端を0、右端を1とする。真ん中にあるとんがりの頂点はもちろん1/2。こんな感じで頂点を区間内の適当なところに対応付ける。すると各頂点はx/(2^n)という形で表せる。

nを固定したときx/(2^n)と(x+1)/(2^n)に対応する頂点の間にあるコッホ曲線が、この2頂点を直径とする円内に含まれるのはちょっと考えれば明らか。ちなみにこの2頂点間の距離は1/3^nに比例するのもすぐわかる。

なのでx/(2^n)という形で表せない数rに対しても、x_n/(2^n)< r <(x_n+1)/(2^n)となる数列{x_n}を考えてn→∞の極限を取れば、rに対応するコッホ曲線上の点の位置が任意の精度で求まる。よって[0,1]からコッホ曲線への全射が作れた。

コッホ曲線は自身と交わらないことも考えるとこれは全単射だ。1次元と1.26次元の間の全単射。

[0,1]をこれで写像した像をコッホ曲線と定義すればいい。