複素解析

study-09w mathematics

今学期の複素解析学Iの期末試験.

問1. 次の定積分を求めよ.

  1. \int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^2)^2},
  2. \int_0^\infty\frac{\sin x}{x(x^2+a^2)}dx\qquad(a>0),
  3. \int_0^\infty\frac{x^\alpha}{x(x+b)}dx\qquad(0<\alpha<1,b>0).

問2.
1. 収束冪級数\textstyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^nに対して,


\rho=\sup\bigl\{R>0; f(z)は円盤|z|< Rで正則な関数に拡張できる \bigr\}

とおくと,収束半径に一致することを示せ.

2. 収束冪級数


1-\frac z2 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{B_{2n}}{(2n)!}z^{2n}\qquad(=\frac{z}{e^z-1})

の収束半径を求めよ.ただし,B_{2nはベルヌーイ数.

問3. 3次方程式 y^3+y-t=0 の解yのうち,t=0でy=0となるようなものを,tに関するt=0を中心とした冪級数の形で求めよ.

問4. 方程式z^n=\exp(z-a),\quad (a>1)が,|z|<1の範囲にn個の解を持つことを証明せよ.ただし,解の個数は重複度を込めて数えることとする.

問5. 関数fが領域D(\in \mathbb{C})で正則であることと同値な条件を,なるべく多くあげよ.(証明はつけなくてよい.)

近いうちにここに略解をのせてみる予定.