7で割る

10^n, n=0,1,2... はmod 7で 1,3,2,6,4,5, がループする.
10080が7で割れるか,というときはmod 7をとってやる,つまり
0*1 + 8*3 + 0*2 + 0*6 + 1*4 == 28 == 0 mod 7 (==は合同のつもり)
みたいに.

10は7と素なので10をかけたりわったりしても7で割れるかどうかはかわらないので暗算する時には適当にずらしてやってよい.
8*1 + 0 + + 1*6 == 14 == 0
みたいな.

10^n がmod mでいくつか,というところから見ると「割り切れるかどうかの判定」が見やすい.

例えばm=2では,10^0,10^1,10^2,...はmodで:
1,0,0,0,...
となって割り切れるか(⇔modで0か)に影響するのが1桁めだけなのが明らかになる.

m=3では
1,1,1,1,...
となって全部の桁を足し合わせるやり方がうまくいくのがよくわかる.m=9でも同じようになる.

そしてm=11では
1,-1,1,-1,...
となり,偶数番目の桁と奇数番目の桁を別々に足し合わせてその差をとる,という操作の理由がわかる.

10080という数字が7で割れる,というのって意外だなーとか犬の散歩しながらぼんやり考えていてこんなこと考えていた.合同式習った直後に気づいてもよかったのかもしれないけど.